크래머 법칙(Cramer's Rule)

이시원,김현우

소개

크래머 법칙은 크래머 법칙은 스위스의 수학자인 가브리엘 크라메르로부터 만들어졌으며 크라메르 법칙이라고도 불린다.

이것은 선형대수학에서 선형연립방정식의 해를 행렬식으로 표현하는 정리로써 방정식이 많은 경우의 실제 해 계산에 있어선 그리 유용하지 않지만, 피봇팅(pivoting)이 필요하지 않은 경우 작은 크기의 행렬에서는 가우스 소거법보다 훨씬 효율적이다. 크래머 공식은 연립방정식의 해를 외재적으로 표현하기 때문에 이론의 전개에 유용하다.

크래머 공식은 다음과 같다.

이와 같은 식이 있을 때

로 쓸 수 있으며

공식을 적용하면 이와 같이 된다.

가브리엘 크라메르

1704년 7월 31일에 출생한 스위스의 수학자로 크래머 법칙으로 유명하며, 어렸을 적부터 그 재능을 인정받았다. 18세에 박사학위를 따고 20세에 스위스 제네바 대학의 교수로 임용이 되었으며 주로 대수곡선(algebraic curve) 분야를 연구했으나 후대 수학자들의 업적에 가려져 현재 별로 가치를 평가받지 못하는 수준이다. 크라메르는 수학자로서 보다는 수학자들의 저서 편집가로서 왕성하게 활동을 하였는데 요한 베르누이, 야콥 베르누이 등 수많은 수학자들의 책의 편집을 맡았다고 전해진다.

크래머 공식의 이용

행렬이라는 분야는 실생활에서 굉장히 많이 쓰이는 분야 중 하나이며, 그중에서도 크래머 공식은 매우 중요한 비중을 차지한다.

=> 3D 그래픽 기술

3D 그래픽 기술에서는 물체의 좌표이동이나 크기, 회전, 카메라 조작 등을 계산할 때 주로 행렬을 이용한다. 특히 Inverse Matrix, 즉 역행렬은 특정행렬의 역행렬을 구할 때 자주 쓰이는 행렬인데, 2차원 행렬까지는 고교수학과정을 이용하여 계산을 할 수 있지만 3차원 행렬부터는 크래머 방식과 가우스 소거법을 이용해야한다. 특히 크래머 방식은 3차원 행렬에서만 이용이 가능하다는 단점이 있지만, 연산속도가 빠르다는 장점을 가지고 있어 D3DX(Direct3D Extension)에서는 크래머 방식을 이용하고 있다.

가우스 소거법을 이용한 크래머 법칙의 증명

일반적인 미지수가 2개인 연립일차방정식을

다음과 같다고  했을 때,

ax+by=e  ... 1번

cx+dy=f   ... 2번

이를 행렬의 형태로 바꾸면 행렬의 곱셈의 정의에 의해

(a   b) (x) = (e)   ... 1번

(c   d) (y) = (f)   ...  2번    가 된다.

가우스 소거법을 이용하면

먼저 성분  c를 0으로 만들기 위해

{2번}xa - {1번}xc 를 하고 정리하면 (전진소거법)

(a      b) (x)  =  (   e  )   ... 3번

(0  ad-bc) (y)  =  (af-ec )   ... 4번

이 되며, 따라서 y의 해는 행렬식의 정의를 이용하여 나타내면,

이 된다.

크래머 공식을 이용한 전기 회로 분석 – 키르히호프 법칙

키르히호프의 전류 법칙 (KCL)

이 법칙은 키르히호프의 지점의 법칙, 키르히호프의 분기점 법칙(또는 노달법), 그리고 키르히호프의 첫 번째 법칙 이다. 전류 법칙은 아래와 같다: 전류가 흐르는 즉 전기가 통과하는 분기점(선의 연결지점, 만나는 지점)에서, 전류의 합 즉 들어온 전류의 양과 나간 전류의 양의 합은 같다. 즉 0 이다. 또는 도선망(회로)안에서 전류의 대수적 합은 0 이다.(단, 들어온 전류의 양을 양수로, 나아간 전류의 양을 음수로 가정 한다. 또한 도선 상의 전류의 손실은 없다고 가정한다).

<회로상의 임의의 한 분기점에서 들어온 전류의 합은 교점에서 나간 전류의 합과 같다.>

키르히호프의 전압 법칙 (KVL)

이 법칙을 키르히호프의 두 번째 법칙' , 키르히호프의 루프의 법칙' 로 부른다. 이 에너지 보존의 원칙은 아래와 같이 적용된다. 닫힌 하나의 루프 안 전압(전위차)의 합은 0 이다.

또는 다르게 표현하면, 폐쇄된 회로의 인가된 전원의 합과 분배된 전위의 차의 합은 그 루프 안에서 등가 한다. 또는 하나의 루프 안에서 도체에 인가된(-걸린) 전압의 대수의 합과 그 루프에 인가한(공급된) 전체 전원 대수의 합은 같다.

<루프의 전압의 합은 같다. 즉 0이다.>

쉽게말해, 제1법칙은 ‘회로 속 한 갈림길에서 들어온 전류함과 나가는 전류함은 같다‘라는 내용이며 제 2법칙은 ’회로 속 닫힌 경로에서, 전원의 기전력의 합은 회로 소자의 전압 강하의 합과 같다‘라는 내용입니다

키르히호프의 법칙-전압(KVL)과 망로방정식을 이용하면 쉽게 구할 수 있습니다.

각 폐로를 흐르는 임의의 전류를 i1, i2, i3이라 하고 폐로에 대해서 계산해 봅시다.

일단, 맨 위의 전류를 i1, 왼쪽을 i2, 오른쪽을 i3이라고 하고, 시계방향으로 흐르고 있다고 합시다.

각 망로에서 KVL(Kirchhoff's voltage law)을 적용하면,

망로1에서 30(i1) + 20(i1-i3) + 10(i1-i2) = 0,(전압원없음)

망로2에서 10(i2-i1) + 40(i2-i3) = +10v(전압원)

망로3에서 40(i3-i2) + 20(i3-i1) + 15(i3) = 0(전압원없음)

이 3 망로방정식을 풀고 정리하면,

+60(i1) -10(i2) -20(i3) =  0 -->1식

-10(i1) +50(i2) -40(i3) = 10-->2식

-20(i1) -40(i2) +75(i3) =  0 -->3식

이 세 식을 약분하고 한번 더 정리하면,

0 = +6(i1) -(i2) -2(i3)  -->1식

-1= +(i1) -5(i2) +4(i3) -->2식

0= +4(i1) +8(i2) -15(i3)  -->3식

이므로 최종적으로 크래머 공식을 사용하여 풀어 준다면

i1 = 31/ 171 =    0.18,

i2 = -82/171 = -0.48,

i3 = 52/171 =    0.30

이 나왔습니다. i2가 부호가 반대라는 것은 ,가정한 것과 반대방향(반시계)으로 흐른다는 거죠.

이제 각 저항에 대하여 전압을 풀어보면 옴의법칙 V = IR에 따라,

30R; v = 30x0.18 = 5.4v,  i = 0.18

10R; v = 10x(0.18+0.48) =   6.6v , i = 0.66

20R; v = 20x(0.18-0.30) = -2.4v ,  i =-0.12

40R; v = 40x(0.30+0.48) = 31.2v  ,  i = 0.78

15R; v = 15x0.30 = 4.5v , i = 0.30