회전운동과 관성모멘트

3310 김용식

1. 회전운동

1)운동의 종류

물리학은 자연에서 법칙을 발견하고 이를 활용하려고 하는 학문이다. 특히 물리학에서 일상생활과 밀접한 관련이 있는 것 중에는 운동을 그 중 하나로 들 수 있다. 운동은 크게 2가지, 직선운동과 회전운동으로 나뉘게 되는데 직선운동은 물체의 모든 질점이 똑같은 변위로 평행 이동하는 운동을 의미하며, 회전운동은 정해진 점이나 축 주위를 회전하는 물체의 각 위치가 변화하는 운동을 의미한다. 이 소논문에서는 이 두 가지 운동 중 물리1, 물리2에서 다루지 않는 회전운동과 회전운동이 실생활에서 적용되는 사례에 대해 알아보고자 한다.

질점: 물체의 질량이 총집결한 것으로 간주되는 이상적인 점이다. 회전운동에서는 부피가 있는 물체라도 그것을 많은 질점들의 집합으로 보고 각각의 질점에 질점역학을 적용시킨다.

2)각속도, 각가속도

회전운동에서 주로 기술하는 물리량은 각변위, 각속도, 각가속도, 토크, 관성모멘트, 회전운동에너지, 각운동량 등이 있다.

<그림 1, 회전운동>

- 각도: 원판의 중심에서 일정한 거리만큼 떨어져 있는 한 점의 운동은 각도 [eqn: theta]만으로 그 위치를 알 수 있으므로 일차원 운동처럼 다룰 수 있으며, 이는 직선운동에서의 변위 [eqn: x]에 일대일 대응된다.

- 각속도: 각속도 [eqn: w]는 단위 시간 동안 회전한 각도로서 다음과 같이 정의 된다.  [eqn: w= {d theta} over {dt}]

또한 각속도 벡터의 방향은 언제나 회전축에 평행하며, 그 방향은 회전방향으로 감는 오른손 법칙이 적용된다. 위 그림의 경우엔, 시계 반대방향으로 회전하므로 오른손 법칙에 의해 각속도 벡터의 방향은 평면을 뚫고 나오는 방향이 된다.

- 접선속력: 한 점의 접선 속력 [eqn: v]는 [eqn: {d theta} over {dt}]이므로 위의 식을 활용하여 [eqn: v=wr]로 표현할 수 있다.

- 각가속도: 각가속도 [eqn: a]는 각속도의 시간변화율로써 다음과 같다. [eqn: a= { dw} over {dt }]

다음과 같은 회전운동의 물리량들은 회전운동의 각변위, 각속도, 각가속도는 각각 직선운동의 변위, 속도, 가속도에 일대일 대응관계를 이루게 되고 <그림2>의 관계를 만족하게 된다. 이 때 회전운동이 각가속도가 [eqn: a]로 일정한 등각 가속도 운동일 때, <그림3>과 같은 운동방정식을 만족하게 된다.

[eqn: w=w _{0} +at``````````````` theta = theta _{0} +w _{0} t+ {1} over {2} at ^{2} ```````````w ^{2} -w _{0} ^{2} =2a( theta - theta _{0} )]                        <그림 2, 회전운동과 직선운동과의 관계>

<그림 3, 등각가속도 운동방정식>

3)회전 운동 에너지와 강체의 회전관성

물리학에서 물체의 운동을 관찰할 땐, 미시적인 접근이 아닌 거시적인 관점에서의 관찰을 시도한다. 그 이유는 직선, 회전운동 하는 물체를 분자, 입자의 단위로 쪼개어 관찰하려고 하면 그 관찰이 매우 어려워지기 때문이다. 이를 해결하기 위해 물리학에서는 강체라는 개념을 도입하게 된다.

강체란 모양이 변하지 않는 물체, 회전 운동, 직선운동을 하는 동안 물체를 구성하는 입자들 사이의 간격이 변하지 않는 물체를 말한다. 이 때 입자들 사이의 간격이 변하지 않기 때문에 각 질점의 무게중심으로부터의 거리가 일정하게 유지된다. 실제로 활용할 때 부서지지 않는 대부분의 고체들을 강체로 간주한다.

[eqn: K _{R} = sum _{i=1} ^{N} {1} over {2} m _{i} v _{i} ^{2} = sum _{i=1} ^{N} {1} over {2} m _{i} r _{i} ^{2} w ^{2} = {1} over {2} w ^{2} sum _{i=1} ^{N} (m _{i} r _{i} ^{2} )#] 물체를 강체로 간주하고 나면 회전하는 동안 강체를 구성하는 모든 부분은 동일한 각속도와 각가속도를 가지게 되고, 강체가  각속력 [eqn: w]로 회전함에 따라 강체를 구성하는 질점 [eqn: m _{i}]는 선속력 [eqn: v _{i} =r _{i} w]로 움직이게 된다. 따라서 강체가 N개의 질점으로 이루어져 있으면 다음과 같은 식이 만족한다.

<그림 4, 강체의 회전운동에너지>

이 때, 강체는 고정된 축 주위로 회전하기 때문에 질점 [eqn: m _{i}]까지의 거리 [eqn: r _{i}]는 변하지 않으므로 회전축이 정해지면 <그림4>의 괄호안의 물리량은 각속도와 무관하게 결정된다. 이 물리량을 강체의 회전관성이라 하고 [eqn: I]라고 한다.

따라서 강체의 회전 운동 에너지는 [eqn: K _{R} = {1} over {2} Iw ^{2}]이라는 식을 만족하게 된다.

이 때, 직선 운동 에너지 [eqn: K= {1} over {2} mv ^{2}]과 비교하면 관성 질량 [eqn: I]는 질량 [eqn: m]에 대응 하는 물리량임을 알 수 있다.

<그림 5, 회전운동과 직선운동과의 관계>

병진운동에서 주로 기술하는 물리량과 회전운동에서 기술하는 물리량들 끼리 일대일 대응관계를 이루는 것들이 많다.

정해진 점이나 축 주위를 회전하는 물체의 각 위치가 변화하는 운동

병진운동:병진운동은 질점계의 모든 질점이 똑같은 변위로 평행 이동하는 운동

회전운동:정해진 점이나 축 주위를 회전하는 물체의 각 위치가 변화하는 운동

질점:물체의 질량이 총집결한 것으로 간주되는 이상적인 점이다.

강체: 모양이 변하지 않는 물체, 회전 운동, 병진운동을 하는 동안 물체를 구성하는 입자들 사이의 간격이 변하지 않는 물체를 말한다. 이 때 입자들 사이의 간격이 변하지 않기 때문에 각 질점의 무게중심으로부터의 거리가 일정하고 따라서 관성모멘트 또한 일정하게 유지된다. 실제로 활용할 때 부서지지 않는 대부분의 고체들을 강체로 간주한다.

각속도 원운동에서 단위 시간 동안에 회전한 각도를 말한다. 각속도 벡터의 방향은 언제나 회전축에 평행하며, 그 방향은 회전방향으로 감는 오른손 법칙이 적용된다. 위의 경우엔, 시계 반대방향으로 회전하므로 오른손 법칙에 의해 각속도 벡터의 방향은 평면을 뚫고 나오는 방향이 된다.

각가속도 각속도가 변화할 때 단위 시간당 각속도의 변화량. 즉, 각속도를 시간으로 나눈값.

등각 가속도 운동 : 회전운동과 병진운동에서는 각도-위치 각속도-속도 각가속도-가속도의 대응관계가 설립하기 때문에 다음과 같은 등각가속도 운동의 공식이 성립한다.

[eqn: w=w _{0} +at# theta = theta _{0} +w _{0} t+ {1} over {2} at ^{2}# w ^{2} -w _{0} ^{2} =2a( theta - theta _{0} )]

회전운동에너지: 강체가 회전함에 따라 강체를 구성하는 질점 [eqn: m _{i}]는 선속력 [eqn: v=rw]로 움직이고, 강체에 N개의 질점이 존재 시 각 질점의 운동에너지의 합으로 다음과 같은 관계식을 유도 할 수 있다.

[eqn: K _{R} = sum _{i=1} ^{N} {1} over {2} m _{i} v _{i} ^{2} = sum _{i=1} ^{N} {1} over {2} m _{i} r _{i} ^{2} w ^{2} = {1} over {2} w ^{2} sum _{i=1} ^{N} m _{i} r _{i} ^{2}#]

회전관성 : 강체가 고정된 축 주위를 회전하는 동안 축으로부터 질점 [eqn: m _{i}]까지의 거리 [eqn: r _{i}]는 변하지 않으므로 [eqn: I= sum _{i=1} ^{N} m _{i} r _{i} ^{2}]라는 물리량이 항상 속도와는 무관하게 결정되고 이를 강체의 회전관성이라고 부른다. 따라서 강체의 회전운동에너지는 [eqn: K _{R} = {1} over {2} Iw ^{2}]이 된다.

회전관성: 회전 관성은 질점의 징량과 회전축으로부터의 거리의 제곱에 비례하므로 회전축으로부터 먼 곳에 큰 질량이 분포되어 있을수록 강체의 회전관성은 커진다. 또한 동일한 물체라도 회전축의 위치에 ᄄᆞ라 회전 관성의 크기는 달라진다.

[eqn: tau =Ia]

[eqn: W= int _{} ^{} {tau} d theta]

[eqn: W= {1} over {2} Iw _{f} ^{2} - {1} over {2} Iw _{i} ^{2}]