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제곱근과 실수

◎ 제곱근의 뜻과 표현

⑴ 제곱근의 뜻 : 음이 아닌 수 [eqn: a]에 대하여 제곱하여 [eqn: a]가 되는 수, 즉 [eqn: x²=a]가 되는 [eqn: x]를 [eqn: a]의 제곱근이라 한다.

⑵ 제곱근의 개수

① 양수의 제곱근은 양수와 음수 [eqn: 2]개가 있고, 그 절대값은 같다.

② 음수의 제곱근은 없다.

③ [eqn: 0]의 제곱근은 이다.

⑶ 제곱근의 표현 : 양수 [eqn: a]의 제곱근 중 양수인 것을 양의 제곱근, 음수인 것을 음의 제곱근이라 하고 기호 [eqn: SQRT { ~~~}](근호, 루트)를 사용하여 다음과 같이 나타난다.

[eqn: a]의 양의 제곱근 : [eqn: SQRT {a~ }]

[eqn: a]의 음의 제곱근 : [eqn: - SQRT { a~}]

◎ 제곱근의 성질

⑴ [eqn: a SUCC 0]일 때

①[eqn: ( SQRT {a~ } )²=a,~(- SQRT { a~} )²=a]

②[eqn: SQRT { a²} =a,~ SQRT { (-a)²} =a]

⑵ [eqn: a PREC 0]일 때

[eqn: SQRT { a²} =-a,~ SQRT { (-a)²} =-a]

◎ 제곱근의 대소 관계

[eqn: a SUCC 0,~b SUCC 0]일 때

⑴ [eqn: a PREC b]이면 [eqn: SQRT { a~} PREC SQRT { b~}]

⑵ [eqn: SQRT { a~} PREC SQRT { b~}]이면 [eqn: a PREC b]

[참고] 제곱근의 대소 관계는 각 수를 제곱한 다음 비교하는 것이 편리하다.

◎ 무리수와 실수

⑴ 무리수 : 유리수가 아닌 수, 즉 [eqn: { a} over {b } (a,~b]는 정수[eqn: ,~b != 0)]의 꼴로 나타낼 수 없는 수

⑵ 무리수의 소수 표현 : 무리수를 소수로 나타내면 순환하지 않는 무한소수가 된다.

소수

유한소수

무한소수

순환소수

순환하지 않는 무한소수

무리수

유리수

⑶ 실수 : 유리수와 무리수를 통틀어서 실수라고 한다.

정수

정수가 아닌 유리수

음의 정수

양의 정수(자연수)

[eqn: 0]

실수

유리수

무리수

◎ 실수와 수직선

⑴ 유리수와 수직선 : 서로 다른 두 유리수 사이에는 무수히 많은 유리수가 있고, 이들은 각각 수직선 위의 한 점에 대응시킬 수 있다.

⑵ 무리수와 수직선 : 서로 다른 두 무리수 사이에는 무수히 많은 무리수가 있고, 이들은 각각 수직선 위의 한 점에 대응시킬 수 있다.

※ 수직선 위의 [eqn: SQRT { 2~}]의 대응점

다음 그림에서 정사각형 [eqn: rmOABC]의 넓이가 [eqn: 2]이므로 한 변의 길이는 [eqn: SQRT { 2~}]이다.

[eqn: rmO]

[eqn: -1]

[eqn: -2]

[eqn: 1]

[eqn: 2]

[eqn: rmA′]

[eqn: rmA]

[eqn: rmC]

[eqn: rmB]

따라서, 원점을 중심으로 하고 를 반지름으로 하는 원을 그려 수직선과 만나는 점을 [eqn: rmA′]이라 하면, 이것이 [eqn: SQRT { 2~}]에 대응하는 점이다.

[eqn: rmOA]

⑶ 실수와 수직선 : 수직선 위에는 유리수와 무리수에 대응하는 점들로 메워져 있다. 따라서, 수직선 위의 점 전체의 집합과 실수 전체의 집합 사이에는 일대일 대응 관계가 이루어진다.

◎ 실수의 대소 관계

두 실수 [eqn: a,~b]에 대하여

⑴ [eqn: a-b SUCC 0]이면 [eqn: a SUCC b]

⑵ [eqn: a-b=0]이면 [eqn: a=b]

⑶ [eqn: a-b PREC 0]이면 [eqn: a PREC b]